Aćim Čumić je rođen 1836. godine u Trešnjevici kod Kragujevca.
Nakon završenih studija prava u Hajdelbergu i Parizu radio je kao profesor gimnazije i neko vreme u sudu. Za profesora kaznenog prava na Velikoj školi postavljen je 1865. godine.
Godine 1869. postavljen je za predsednika beogradske opštine – gradonačelnik Beograda, ali ga je liberalsko namesništvo na čelu sa Jovanom Ristićem zbacilo sa mesta predsednika beogradske opštine.
Okrenuo se advokaturi u Beogradu, da bi 1873-1874. godine bio ministar unutrašnjih dela u Marinovićevom kabinetu.
25.11.1874. godine postavljen za predsednika vlade. Zadržao je ministarstvo unutrašnjih dela. Pošto vlada nije uživala poverenje skupštine, to je već posle tri meseca, 22. 1. 1875. godine, bila zamenjena drugom. Potom je postavljen za sudiju Kasacionog suda.
Uhapšen je 1878. godine zbog navodnog učešća u Topolskoj buni i osuđen na smrt zajedno sa Jevremom Markovićem, ali je ubrzo pomilovan i osuđen na 10 godina robije. Pušten je iz zatvora po padu Ristićeve vlade i dolasku naprednjačke 1880. godine. Više se nije bavio politikom.
Tokom 1880-tih godina bio je vladin predstavnik kod društva za izgradnju i eksploataciju srpskih železnica.
Bio je član Srpskog učenog društva i počasni član Srpske kraljevske akademije od 1892. godine.
Preminuo je 27.07.1901. godine u Kusataku – Smederevska Palanka.
